さて、すっかりおなじみとなったであろうこの６種のマテオン。これらを分類する方法は一通りでない。たとえば、総和という観点に立てば、これらは三つの組に分けることができよう。
これはこれで十分に興味深いが、わたしたちは前章で６種のマテオンを二分する奇妙な手法を思いついたのであった。
❸と❹には数合わせのため複製増員をしていただき、このようにバランスをとったうえでグループ化する。この章では、この二分法が合理的であることを、二つのグループの鳴り響かせるふしぎな共鳴数を通して証拠立ててゆきたいと考えている。
まずは次のような四つの格子ブロックを用いてこころみたいことがある。
正方格子(4×4)の二つの対角線。こんなものを持ち出していったいなにをするつもりなのか。ぜひ、これを見てほしい。
なにが起きていたか、わかっていただけただろうか？
スローで解説してみよう。二種の対角線格子を❶❻❷❺に重ね合わせると、
さて、上記動画では複製された二つの組の間で次のような格子交換が行われていた。
このように右上がりと左上がりの対角線格子を混在させることによって、グループ間で絶妙なバランスが図られる。動画でごらんいただいた総和四数のアー/マーの呼吸による共鳴現象がその一つである。
これは対角線格子の総和をとったものであるが、よくよく観察してみると各総和が等しくなるペアがグループ間に存在していることがわかる。
では、これらの事実を踏まえたうえで、もう一方のマテオン❹❹❸❸の組にも同じことをこころみてもらうことにしよう。
とくに各呼吸ごとに生成される数のかたちに注目して、以下の動画を見てもらいたい。
どうだろう。
ここでもやはり、呼吸を問わずに、２乗数生成力が発揮されている。少しふりかえってみると、
２種の対角線格子を重ね合わせられた二つのグループは次のように二つの格子を交換しあっていた。
こうすることによって、二者のグループ間で共鳴が引き起こされる。
まあ、この場合、二つのグループは本質的には同じ構成となるので、どちらか一方を考察すれば十分ともいえる。が、ここでなにより重要なことは、これらが生成する数のかたち。
この682というのは、マテオン❶❻❷❺らによる生成数と寸分違わない。
そしてこの数を、プレーン超格子体の観点から解釈すると、
このように四本の対角線を用いて表現することも可能だ。あらゆるマテオンはこのプレーン超格子体をもとに作られているということを、いま一ど思い返しておくべきだろう。
さて、ともかくも６種のマテオンたちはこのような関係で結ばれていることがわかった。
興味深いことは、この等式の形式を維持したまま呼吸法を変えても関係性がたもたれるということ。
しかも、マーの呼吸では、すべてが０消失。
なるべくして、かくのごとくなっているという印象を拭えない。
が、驚くのはまだ早い。これまでに見てきた対角線格子を、次のような格子一式に置き換え、そこでなにが起きるかも見てみたい。
いわゆる、プレーン超格子体における4–4相愛数ポジションである。これらの格子をマテオン❶❻❷❺に重ね合わせると、
ここで気づかれた者もいるかも知れないが、対称行列という形式をもつこの四つのマテオンの場合、それぞれ四つのポジションの四数の構成内容は同じとなる。
まさに配置の妙である。それゆえ、グループ間で格子を交換してもしなくても結果は変わらないのではあるが、やはりここは次のような交換が行われると想定したい。
では、このように入念に準備した上で、各四数総和のアー/マーの呼吸がどうなっているか調べてみることにする。
生成数は呼吸によらず、これまで見てきたものとまったく同じ。
だんだんと不思議さがつのってきたのではないだろうか？
マテオン❹❹❸❸の組についてもたしかめてみよう。まずは下準備から。
先の対称行列とは別形式をもっているので、今回は対応する四数同士の構成は異なる。にもかかわらず、それぞれ四数総和をとると、このようなペア化が図られる。
❸❹型の構造については後の章で詳しく分析することとして、とりあえず、先に進める。
格子の交換が完了したところで、以下の動画を見ていただきたい。
もはや、デジャビュでしかない。
アーの呼吸では682。マーの呼吸では０消失。4–4相愛数ポジションにおいてもまた同形式の等式が書かれうる。
これでおしまいか？
いや、最後にこのようなポジションを取り上げてみたい。
これをつかって、上述したとおりの手順でおなじことをこころみてほしい。
◆◆◆◆マテオン❶❻❷❺型の四隅ポジション◆◆◆◆
◆◆◆◆マテオン❹❹❸❸型の四隅ポジション◆◆◆◆
