超格子体の構造は、わたしたちが思っているよりはるかに深い。その単純な見かけにだまされてはいけない。

さて、あなたがたもうすうす気づかれていると思うが、超格子体というのは後に超格子体(n×n)というかたちに無辺に拡張されることになる。わたしたちが、いま、考察の対象にしているのは超格子体(4×4)だということを心にとめておくことにしよう。

これらの超格子体全般に共通するものとして、もっとも基本的な法則は、最外殻を時計回りにマーの呼吸で一周すると0になる、というのがある。

超格子体(4×4)でいうと、

この現象は、以下のような亜種超格子体についても広くいえることであるのでたしかめてほしい。

なぜなのか？　それは180度、時計回りに回転させたとき、かさなりあう位置の数同士の和が同じになるという事実を基にしており、そのことを知れば得心ができる。

だが、ここにわたしたちの常識の範疇をはるかに超える事実がある。次の動画では、この最外殻に位置する12個の数と内殻に位置する4個の数とをめぐるふしぎな関係が示されている。

外と内の交換性とでもいうべきか。1乗から3乗の次元まで一致するのであるから、もはや偶然とは片づけることははばかられる。とはいえ、この種の謎にどのようにアプローチすればいいのだろう。代数を用いて、代数的構造を明らかにしたところで、何か腑に落ちないものが残る。超格子体がなぜそのような代数的構造を持たされているかの理由を突きつめたことにはなりえない。

さて、最外殻に位置する12個の数については、つぎのように二分されうるということも強調しておくべきだろう。

二つの位置関係は多様な解釈の仕方ができる。一方を90度、時計回りに回転させるともう一方になる。あるいは一方は一方の鏡像ととらえることも可能だ。

それぞれの8個の数の総和が一致することは先の最外殻を時計回りにマーの呼吸で一周すると0になるという事実と同値であるので、再度とりあげるまでもないとしても、以下のような事実はやはり特記しておくべきだろう。

となりあう二数の積を時計回りにマーの呼吸をさせる。するといずれもが０になる。ちなみにこの事実は、先の動画で紹介したように外と内を交換した場合にも成り立つことである。やってみよう。

 

ここでは重複している数が多く登場するので、あたりまえのようにも見えるが、奇妙な符合ではある。あるいは、単純に外殻と内殻でとなりあう二数の積を時計回りにマーの呼吸をさせてみよう。

どうだろう。この場合も、たがいに呼応しあうかのように、それぞれの結果はぴたりと一致しているではないか。大は小を兼ねるという話ではない。ここでは小が大を兼ねているのである。まことにおどろくべきことだ∙∙∙。最後にとなりあう三数の積に関する常軌を逸した事実もとりあげておこう。

超格子体(4×4)という極小サイズの超格子体にかぎっても、構造の深化はとどまることを知らないようだ。この領域にはまだまだ多くの事実が隠れている。つぎに、わたしたちは超格子体(4×4)がはりめぐらしている超対称的構造を見ていくことにしよう。