さて、すっかりおなじみとなった正負反転体(4×4)の全16種類の柄(パターン)である。
この章では、上記以外にも特筆すべき反転柄が存在していることをお伝えしたい。
正負反転体になれなかった正負反転体とでもいうべきか……。
その意味で、わたしたちはこれらを準–正負反転体と呼ぶこととしよう。
この準–正負反転柄とマッチング可能な格子体として、まっさきに挙げられるのがオールワン格子体。つまりは、格子体史上、最もシンプルな、これである。
さっそく、このオールワン格子体に試着してもらおう。
さすがによく似合っている。ペアルックに身を包みんだかられが、なぜこれほどまに喜んでいるのか。そこにはちゃんとした理由がある。
なにが起こっていたか。
行列積という変換によっても二種類の正負の柄が保存されるということである。
少し詳しく見てみよう。
たとえば、それぞれの格子体の２乗体は、このようにあらわせる。
とくに①型については自らの構造を保っているのがわかる。興味深いことに①型に関しては２乗以降も、つぎのような関係が成立する。
ここで思い出されるのは、従来の16種の正負反転体における、n乗体構造不変の法。
が、準–正負反転体①型との決定的な違いは、正負反転体の場合、構造固有定数が主対角の総和(トレース)になるという強い性質があった。いま、わたしたちが見ている準–正負反転体①型については、この法則の主張からは外れている。
逆に言うと、この事実こそが、準–正負反転体が正負反転体の仲間に入れない理由ともなっている。とはいえ、そのぶん準–正負反転体は、ペア同士がたがいに協力しあうことによって構造不変関係を構築する。
行列の積において、A×B＝B×Aの関係が成立することは珍しい。この点だけでも、準–正負反転体は充分に特異な存在たちであることがわかる。
さて、このような顕著な性質をもつ準–正負反転体は探せば他にも見つかる。
これら準–正負反転体③型/④型についても、①型/②型と同等の力が秘められている。
どうだろう。
動画で起こっていたことを精確に記述してみると、
①型/②型で見たものと瓜二つの等式。構造固有定数(±2)を無視し、正負の柄だけに着目すれば、積表はこのように示せる。
さて、こうなると空白の部分を埋めたくなるのが人情。
ということで、あらためて①～④型に集結してもらうことにする。
わたしたちはこれら四種を一つのグループとみなす。はたして、ペアをほどき、それぞれの格子体においてそれぞれの格子体と総当たり的に行列の積をとるとどうなるのか？
●準–正負反転体①②③④型：二者間の行列積：メイン①
●準–正負反転体①②③④型：二者間の行列積：メイン②
●準–正負反転体①②③④型：二者間の行列積：メイン③
●準–正負反転体①②③④型：二者間の行列積：メイン④
ありがたいことが起こってくれた。
①～④型間の行列の積の結果は、構造的に①～④型の中で閉じている。よって、わたしたちは積表を完成させることができる。
じっくりと鑑賞し、次章にそなえたい。
