今回はこの4–4相愛数から話をはじめたいと思う。

そして、さっそくだが、これを見ていただきたい。

ここに生みだされている数は４。これを２の２乗数と見るか、２の累乗数と見るか。そのことはこの章ではとくにこだわらない。

奇妙なことにこの美しい等式は、相愛数のとりうる範囲を自然数と限定した場合、あらゆる相愛四数についても成立するだろうということである。

ためしにこの4–4相愛数を例にとってみよう。

ブルーの相愛四数をこの等式に適用してみる。

このとおり４という数があらわれる。さすがは相愛数とうなられた方もおられよう。ぜひ、ピンク組でもどうようの数があらわれることをたしかめていただきたい。

では、ここで一つの疑問。
この定数４は、はたして相愛数の世界のみ帰属した数なのであろうか？

わたしたちは、稀有な現象に出くわすと、とかく目をくらまされてしいがちだ。つまり、相愛数はスゴいものだから、このようなふしぎなことも相愛数だからこそ可能なのだ、とかなんとか。

が、ここは一つ冷静になって考察してみる必要がある。というのもわたしは、つぎのような事実にも出くわすからである。

そう、ここでも４という数があわられる。

どういうことなのか？
これらの数たちは、もちろん相愛数ではない。いや、定数４を生成するのは、こればかりではない。こんどは１～16の格子数をつかって、ちょっとトリッキーな技をこころみたい。

まず１～８のエリアから対角積をつかってこのような数たちをとりだす。ちなみにこの四数はそれぞれ２で割ると超格子体の中の一組の相愛四数になっている。偶然だろうか？

それはさておき、残りのエリアでもおなじことをこころみ四数をとりだしてみよう。

これでわたしたちは四数からなるグループを二組、手に入れた。まさか、と思われるかも知れないが、そのとおりなのである。これを見てほしい。

そう、共鳴現象。しかもあらわれるのは定数４。相愛数ではないが、あたかも相愛数そっくりのふるまいをしている。

さらに、複雑な構成をもつ数たちを取り上げたい。おぼえているだろうか、マリス/タリスの総和凝集回転からみ積。

このような手の込んだプロセスを経て生成されたこれら四つの数。

これらに順序を付与し、

それぞれ核となる連結数を求める。

して、これら三数の関係はというと、

どうだろう。
またしても定数４である。
なにが起こっているか。

ここまでとりあげた四数は、いずれも生成原理が異なっている。にもかかわらず、同じ定数を生みだすのである。

はたして、これらの数の組に共通する構造などあるのだろうか？じつは定数４の生成条件は、意外に単純である。見抜かれた方もおいでだろう。

このように四数を記号に置き換えたとき、

そうなのだ。種明かしをすれば、これまでとりあげたいずれの円環四数においても、この和と差の関係が存在している。たとえば、

このような単純な関係が起因となって、さまざまな連結数間における美しい代数的関係に発展する。

これはあくまで一例にすぎない。ほかにも先の章で見たように、

これなども、かなり美しい部類に入るだろう。あるいは、これを見てもらいたい。

相愛四数の共鳴。ここで生成される2.25は定数であり、和と差の等式を満たすどんな四数においても同じ数があらわれることが約束される。またこの数は1.5(3/2)の２乗数とも解釈できる。というのも、この事実は先述の二つの関係性の統合から導かれたものだからだ。

これを整理すると、

ではこの形式を基にして、ここに若干のアレンジをくわえてみたい。

わかるだろうか？
分子が３乗(マーの呼吸)→４乗(マーの呼吸)に入れ替わっているのが。このような変更をしてもなお四数は同一の定数を生みだしつづけるだろうか？ とりあえず、この動画をみていただきたい。

どうだ。相愛四数の二組が生成するのは、おなじ784。しかもこれは28の２乗数である。すばらしい。ならば、この数はあらゆる円環四数に共通する定数にちがいない。

即断は禁物である。新たな発見にテンションが上がったときこそ、陥穽が待ちかまえている。それが真実でないことはたった一つの反例をもちだすだけでことたりる。

64は８の２乗数であることは注目に値するが、784が円環四数の生成定数でないことはこれで明らかとなった。が、それゆえにというべきか、上記の動画で示されている相愛四数の共鳴現象はとりわけ興味深いといえる。さらに分子の次元を上昇させてみよう。

こんどは５乗(マーの呼吸)。諸君らの直感は、どう応える？ 「きっと、この式に円環四数を適用したとき定数が生成されるだろう」「いや、定数は生成されないが、相愛四数にかぎっていえば共鳴をひき起こすだろう」「いやいや、今回にかぎっては、生成される数はバラバラにちらけて当然だ」

もちろん、これ以外にもご意見はあるはず。
どうぞ、それぞれの立場を明らかにしてから、この動画をみてもらいたい。

またも相愛四数の二組の共鳴現象。が、今回も共鳴するのこの二組のみで、ほかの円環四数にまでは広がってゆかない。一例をあげると、

奇しくも、3496900も２乗数(18702)であるが、相愛四数が生みだしていたそれとは異なる数だ。なかなか一筋縄でいかない。

もし、この形式をある程度、維持したまま、あらゆる円環四数を結びつける定数を望むならば、この等式にはある項が欠けている。そう、たとえば、２乗(アーの呼吸)をこの等式のある箇所に添加すると、

ここでは相愛四数による定数1.5625の生成の様子が描かれているが、他のあらゆる円環四数でためされることをつよくおすすめする。1.5625は1.25の２乗数であり、1.25は5/4という美しい自然数の比であらわされる数である。あらためて述べ直せば、

従来型に２乗(アーの呼吸)の２乗が分母に追加されているのがわかるだろう。この形式を美しいと見るか、否かは、もはやわたしには断言いたしかねる。