さて、前章で取り組んでいたこととはなにか？
わたしたちは、これらの正負反転体に、準–正負反転体を関与させるとどうなるか、ということを調査していたのであった。
ここでいう関与とは、以下のような行列の積によって合成することである。
準–正負反転体が両側から正負反転体を介添えをしているような恰好の積。前章でわたしたちが知り得たことは、被介添格子体として正負反転体❶❷❼❽型を選ぶと、そこで生成される柄は❷型(マリス/タリス型)に、なぜか統一されてしまうということだった。
この意味で四つの❶❷❼❽型は一つのグループをなすと考えてよいだろう。
興味深いことに、この四つをアダマール積によって合成すると、
はたして偶然か？
オールワン格子体になるのである。
この四つの正負反転体のアダマール積における関係をもう少しくわしく見てみよう。
お手持ちの積表を広げていただきたい。
おわかりになるだろうか？
積表の中にあらわれる型は❶❷❼❽のいずれか。つまり、❶❷❼❽型は❶❷❼❽型だけで一つの閉じた世界をつくりだしているのである。
これと似た光景をどこかで見たと想い出される方もおられよう。
さよう。正負反転体❶❷❸❹型もまた一つの閉じた世界をつくり、それは別名、クラインの四元群という名で知られているものであった。
二つのミニ積表(4×4)を見比べてみると、❸❹と❼❽が入れ替わっただけで、同じ構造をもっていることが見て取れる。
さて、以上の事実を踏まえた上で、以下の四つの動画をごらんになっていただきたい。
どうだろう。ここに登場する正負反転体❸❹⓫⓬型は、準–正負反転体に関与されてもすべて❸型の柄を選ぶ。
これは先に見た❶❷❼❽型が準–正負反転体に関与されてもすべて❷型の柄を選ぶ、という事実と対応している現象と考えられはしないだろうか？
というのも。
❶❷❼❽型のアダマール積がオールワン格子体を生成したように、この四つのアダマール積についても、
アダマール積における四つの絶妙な関係はミニ積表(4×4)にも反映されている。
❸❹⓫⓬型の積表の内部構成は❶❷❸❹型の積表の❸⇄❽と❹⇄❼が入れ替わっただけのものとなっている。
よくできた話である、
と簡単に、かたづけてしまってはいけない気がする。
正負反転体の中には、まだ他にもこのような四つ組が隠れているのではないか？
諸君らのその直感は、おそらくはまちがってはいまい。
探せば見つかるものだ。
❻❿⓭⓯型。
❻❿⓭⓯型のいずれも、準–正負反転体に関与されて、⓭型の柄を選ぶ。どうやら、四つ組が準–正負反転体介添積によって生成される柄は、四つ組の中の一つが選ばれるという暗黙のルールがありそうだ。
ほかにもチェックすべき項目として四つ組のアダマール積をとってみる。
オールワン格子体。
美事である。
次に❻❿⓭⓯型のミニ積表(4×4)を切り出してみる。
やはり、❶❷❸❹型の積表の内部構造と共通している。
さて、ここまで正負反転体全16種のうち12種までがグループに算入された。残るは、❺❾⓮⓰型のみ。これらが四つ組をなしているとすれば、万事きれいにしめくくることができる。期待するしかない。
なるほど。
❺❾⓮⓰型は❻❿⓭⓯型らの90度回転体なのであるから、これらの結果は納得である。
当然、アダマール積も、
ミニ積表(4×4)もやはりクラインの四元群の骨格と同じ。
さて、ここまで入手したすべてのミニ積表(4×4)をならべてみると、
なにやら奇妙な対称性が見え隠れしているが、注目すべきは積表の中身がいずれも❶❷❼❽型からのみ成っているということであろう。
準–正負反転体を経由して四分割された正負反転体。この四つのグループの中でもキング的存在感をもって君臨しているのがこの❶❷❼❽型と受けとめざるをえない。
いや、正負反転体における最重要四体は、なんといってもクラインの四元群を構成する❶❷❸❹型ではないか。
もちろんだとも。
が、どんな観点をもって眺めるかによってキング・オブ・グループは変転するのもまた事実。たとえば、
これまで見てきた準–正負反転体の介添積によって生成される格子体に着目した場合、正負反転体❷❸⓭⓮型が一躍、主役の座に踊りでるだろう。
ご多聞にもれず、これらのアダマール積もオールワン格子体を生成する。
いまさらではあるが、準–正負反転体とその90度回転体らの各四連アダマール積は、
一色に染まる。
オールワン格子体の反転模様。この事実もつけくわえておきたい。
それにしても、この界隈の領域で何が起きているのか？
準–正負反転体の介添積があぶりだす四つ組たちの存在は、わたしたちに何を伝えようとしているのか？
視えないだけで背景がある？
高次の幾何学的背景……!?。
所詮、視えないのだ。
当面は、口をつぐむしかあるまい。
